排序算法
排序算法是一种能将一串数据依照特定排序方式进行排列的一种算法。最常用到的排序方式是数值顺序以及字典顺序。
排序算法的输出必须遵守下列两个原则：
- 输出结果为递增（减）序列
- 输出结果是原输入的一种排列或重组
算法分类：
- 比较类排序：通过比较来决定元素间的相对次序，由于其时间复杂度不能突破O(nlogn)，因此也称为非线性时间比较类排序。
- 非比较类排序：不通过比较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于比较排序的时间下界，以线性时间运行，因此也称为线性时间非比较类排序。
- n：代表数据规模及数据量大小
- k：桶的个数
- 时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。
- 空间复杂度：是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，它也是数据规模n的函数。
- In-place：不占用额外内存，只占用常数内存
- Out-place：占用额外内存
稳定性是指多次排序后两个相等键值的顺序和排序之前的顺序是否相同。 假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序：
(4,1)(3,1)(3,7)(5,6)
有可能产生两种不同的结果：
(3,1)(3,7)(4,1)(5,6)
(3,7)(3,1)(4,1)(5,6)
不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。
冒泡排序（Bubble Sort）
冒泡排序重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
- 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；
- 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
- 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
- 重复步骤1~3，直到排序完成。
// i∈[0,N-1) //循环N-1遍
// j∈[0,N-1-i) //每遍循环要处理的无序部分
// swap(j,j+1) //两两排序（升序/降序）
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46];
for ($i = 0; $i < count($array); $i++) {
for ($j = 0; $j < count($array) - 1 - $i; $j++) {
if ($array[$j] > $array[$j + 1]) {
$temp = $array[$j + 1];
$array[$j + 1] = $array[$j];
$array[$j] = $temp;
}
}
}
选择排序（Selection Sort）
选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。
- 在长度为N的无序数组中，第一次遍历n-1个数，找到最小的数值与第一个元素交换；
- 第二次遍历n-2个数，找到最小的数值与第二个元素交换；
- 第n-1次遍历，找到最小的数值与第n-1个元素交换，排序完成。
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46];
for ($i = 0; $i < count($array); $i++) {
$min = $i; // 暂定当前基数为最小数
for ($j = $i + 1; $j < count($array); $j++) {
if ($array[$j] < $array[$min]) {
$min = $j; // 保存替换最小数的索引
}
}
//交换最小数与基数
$temp = $array[$i];
$array[$i] = $array[$min];
$array[$min] = $temp;
}
插入排序（Insertion Sort）
插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。 插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到 O(1) 的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。
在要排序的一组数中，假定前n-1个数已经排好序，现在将第n个数插到前面的有序数列中，使得这n个数也是排好顺序的。
- 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序
- 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描
- 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置
- 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置
- 将新元素插入到该位置后
- 重复步骤2~5
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46]; for ($i = 1; $i < count($array); $i++) { //假定第0个已经排序，从第1个开始比较 if ($array[$i - 1] > $array[$i]) { //如果已排序的最后一个 大于 要比较的数值 $temp = $array[$i]; // 将要比较的数值赋值给temp for ($j = $i - 1; $j >= 0; $j--) { if ($array[$j] <= $temp) { //当循环到已排序的数值 小于等于 要比较的值，跳出循环 break; } $array[$j + 1] = $array[$j]; //当循环到已排序的数值 大于 要比较的值，将此值向后移动 } $array[$j + 1] = $temp; //将要比较的值插入到当前循环到的已排序的位置 } }
希尔排序（Shell Sort）
希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本，实质是分组插入排序。
插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率，但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位。
希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行，最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。
希尔排序的核心在于间隔序列的设定。既可以提前设定好间隔序列，也可以动态的定义间隔序列。
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46];
//初次向右移动一位，即使用 n/2 作为步长，之后每次循环减半，直到为0，步长的选择直接决定了希尔排序的复杂度
//整数 gap 从 n/2 到 1 ，每次循环 gap 变为 gap/2
for ($gap = count($array) >> 1; $gap > 0; $gap >>= 1) {
//之后就和插入排序一样，可以理解插入排序是步长为1的希尔排序
//i从 gap 到 n - 1，每次循环 i = i + 1
for ($i = $gap; $i < count($array); $i++) {
//將 a[i] 赋值给 temp
$temp = $array[$i];
//j 从 i 到 gap，每次循环 j = j - gap
for ($j = $i; $j >= $gap; $j -= $gap) {
//如果a[ j − gap ]大于temp，则将a[ j - gap ]的值赋给a[ j ]
if($array[$j - $gap] > $temp) {
$array[$j] = $array[$j - $gap];
} else {
break;//否则跳出j循环
}
} //j循环结束
//将 temp 的值赋给 a[j]
$array[$j] = $temp;
}//i循环结束
}//inc循环结束
归并排序（Merge Sort）
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。
- 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
- 对这两个子序列分别采用归并排序；
- 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
看归并排序的基本思路就是将数组分成2组A，B，如果这2组组内的数据都是有序的，那么就可以很方便的将这2组数据进行排序。
将A，B组各自再分成2组。依次类推，当分出来的小组只有1个数据时，可以认为这个小组组内已经达到了有序，然后再合并相邻的2个小组。
通过先递归的分解数列，再合并数列就完成了归并排序。
先考虑合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
再考虑递归分解，基本思路是将数组分解成left和right，如果这两个数组内部数据是有序的，那么就可以用上面合并数组的方法将这两个数组合并排序。如何让这两个数组内部是有序的？可以再二分，直至分解出的小组只含有一个元素时为止，此时认为该小组内部已有序。然后合并排序相邻二个小组即可。
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46];
merge_sort($array);
function merge_sort($array)
{
$len = count($array);
if ($len <= 1) return $array;
$half = ceil($len / 2);
$arr2d = array_chunk($array, $half);
$left = merge_sort($arr2d[0]);
$right = merge_sort($arr2d[1]);
$merge = [];
while (count($left) && count($right))
if ($left[0] < $right[0])
$merge[] = array_shift($left);
else
$merge[] = array_shift($right);
return array_merge($merge, $left, $right);
}
快速排序（Quick Sort）
通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。
快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。
- 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
- 将比这个数小的数全部放在它的左边，大于或等于它的数全部放在它的右边，称为分区（partition）操作；
- 对左右两个小数列重复第二步，直至各区间只有1个数
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46];
$result = quick_sort($array);
print_r($result);
function quick_sort($array)
{
$len = count($array);
if ($len <= 1) return $array;
$left = $right = [];
$middle = $array[0];
for ($i = 1; $i < $len; $i++)
if ($array[$i] < $middle)
$left[] = $array[$i];
else
$right[] = $array[$i];
return array_merge(quick_sort($left), (array)$middle, quick_sort($right));
}
堆排序（Heap Sort）
利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，在 top K 问题中使用比较频繁。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点，每个节点的左右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
构造最大堆（Build_Max_Heap）：将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；若数组下标范围为0~n，考虑到单独一个元素是大根堆，则从下标n/2开始的元素均为大根堆。于是只要从n/2-1开始，向前依次构造大根堆，这样就能保证，构造到某个节点时，它的左右子树都已经是大根堆
堆排序（HeapSort）：将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；由于堆是用数组模拟的。得到一个大根堆后，数组内部并不是有序的。因此需要将堆化数组有序化。思想是移除根节点，并做最大堆调整的递归运算。第一次将heap[0]与heap[n-1]交换，再对heap[0...n-2]做最大堆调整。第二次将heap[0]与heap[n-2]交换，再对heap[0...n-3]做最大堆调整。重复该操作直至heap[0]和heap[1]交换。由于每次都是将最大的数并入到后面的有序区间，故操作完后整个数组就是有序的了。
最大堆调整（Max_Heapify）：由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成；该方法是提供给上述两个过程调用的。目的是将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
其原理就是根据堆排序，获取最大（小）根，然后拿出根（将根和最后一个叶子交换，并将边界缩小1），将剩余的堆继续调整，然后继续取根。
$array = [13, 5, 22, 95, 28, 14, 8, 56, 24, 73, 99, 46];
print_r(heap_sort($array));
function heap_sort($arr)
{
$len = count($arr);
//构建最大堆，从最后一个非叶子节点 $i 开始调整
for ($i = intval($len / 2) - 1; $i >= 0; $i--) //ceil
max_heap($arr, $i, $len);
// 堆排，将大根堆转换成有序数组
// 先将第一個元素和已排好元素随后一位做交換，再重新調整，直到排序完毕
// 在做堆调整之前，将 最大根$0 放在了$i，并将边界设置为了$i，即将最大值拿出，将剩余的数值进行堆调整
for ($i = $len - 1; $i > 0; $i--) {
$temp = $arr[0];
$arr[0] = $arr[$i];
$arr[$i] = $temp;
max_heap($arr, 0, $i);
}
return $arr;
}
// 最大堆调整：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
// start为当前需要调整最大堆的位置，end为调整边界
// 从0开始计算 $start 节点的子节点为 2*$start+1, 2*$start+2
function max_heap(&$arr, $start, $end)
{
//建立父父节点指针和子节点指针
$dad = $start;
$son = $dad * 2 + 1;
//如果子节点的指针超过范围，直接跳出函数
if ($son >= $end) return;
//先比较两个子节点的大小，选择最大的：如果存在右节点并且左节点小于右节点，使用右节点和父节点进行比较
if ($son + 1 < $end && $arr[$son] < $arr[$son + 1])
$son++;
//如果父节点小于子节点，交换父子节点内容，继续递归比较子节点和节点
if ($arr[$dad] <= $arr[$son]) {
$temp = $arr[$dad];
$arr[$dad] = $arr[$son];
$arr[$son] = $temp;
max_heap($arr, $son, $end);
}
}
计数排序（Counting Sort）
计数排序（Counting sort）是一种稳定的线性时间排序算法。
计数排序不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。
计数排序使用一个额外的数组C，其中第i个元素是待排序数组A中值等于i的元素的个数。然后根据数组C来将A中的元素排到正确的位置。
计数排序是一个稳定的排序算法。当输入的元素是 n 个 0到 k 之间的整数时，时间复杂度是O(n+k)，空间复杂度也是O(n+k)，其排序速度快于任何比较排序算法。当k不是很大并且序列比较集中时，计数排序是一个很有效的排序算法。
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素
- 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项
- 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
- 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1
$array = [3, 7, 4, 10, 22, 3, 5, 9, 7, 2, 4, 13, 16, 6, 12];
countingSort($array, 22);
function countingSort($array, $maxValue)
{
$bucket = [];
for ($i = 1; $i <= $maxValue; $i++) {
if (!isset($bucket[$i])) {
$bucket[$i] = 0;
}
}
foreach ($array as $value) {
$bucket[$value]++;
}
$index = 0;
foreach ($bucket as $key => $bkt) {
while ($bkt > 0) {
$array[$index++] = $key;
$bkt--;
}
}
return $array;
}
桶排序（Bucket Sort）
桶排序（Bucket sort）或所谓的箱排序，是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。
桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。
桶排序是鸽巢排序的一种归纳结果。当要被排序的数组内的数值是均匀分配的时候，桶排序使用线性时间 O(n)。但桶排序并不是比较排序，他不受到 O(nlogn)下限的影响。
桶排序最好情况下使用线性时间O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，因为其它部分的时间复杂度都为O(n)。很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。
- 设置一个定量的数组当作空桶
- 遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去
- 对每个不是空的桶进行排序
- 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来
基数排序（Radix Sort）
基数排序（英语：Radix sort）是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序也不是只能使用于整数。
基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。
将所有待比较数值（正整数）统一为同样的数字长度，数字较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后，数列就变成一个有序序列。
基数排序基于分别排序，分别收集，所以是稳定的。但基数排序的性能比桶排序要略差，每一次关键字的桶分配都需要O(n)的时间复杂度，而且分配之后得到新的关键字序列又需要O(n)的时间复杂度。假如待排数据可以分为d个关键字，则基数排序的时间复杂度将是O(d*2n) ，当然d要远远小于n，因此基本上还是线性级别的。
基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中k为桶的数量。一般来说n>>k，因此额外空间需要大概n个左右。
基数排序的方式可以采用LSD（Least significant digital）或MSD（Most significant digital），LSD的排序方式由键值的最右边开始，而MSD则相反，由键值的最左边开始。
- 取得数组中的最大数，并取得位数；
- arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；
- 对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；
参考：